Для многих систем характерны частые случайные всплески прогнозируемых величин, поскольку они не поддаются прогнозированию, а лишь вносят случайный шум, их нужно отфильтровать, именно для этого используются специальные алгоритмы сглаживания.

Методы сглаживания будут рассматриваться для интерполяции на временном диапазоне в три дня, которые при этом характерно выражены влиянием случайной составляющей.

Исходные данные по скоростям, для сравнения различных методов сглаживания временных рядов:

Метод сглаживания постой скользящей

Скользящая средняя для данной точки временного ряда равна арифметической сумме предыдущих исходов, деленной на их число.

где j – число рассматриваемых дней;

t – рассматриваемый момент времени;

H – матрица исходов;

i – рассматриваемый день.

Для данного случая требуется взять j=3 (рассматриваемый диапазон – три дня) и сгладить их с помощью формулы.

В результате сглаживания получилась кривая, близкая к эталону, не имеющая случайных всплесков, однако метод простой скользящей средней имеет существенный недостаток – данные по любым исходам (и старым и новым) вносят одинаковый вес, в итоге получается функция, которая может не иметь ничего общего с текущими значениями.

Предполагается, что последние значения исходов должны вносить в сглаженную функцию, большие изменения, чем от предыдущих исходов. Кроме того, такой метод хорошо применять для стабильных и уравновешенных систем, а, рассматриваемая в данной работе система, высокодинамичная и значение предыдущих дней и, даже, часов, могут практически не влиять на текущие и будущие значений функции.

Метод сглаживания взвешенной скользящей

В отличие от простого среднего в методе взвешенного среднего последним исходам отдается существенное преимущество при расчете сглаженной функции.

Расчет производится по следующей формуле:

где j – число дней;

t – рассматриваемый момент времени;

H – матрица исходов.

Производится расчет взвешенного среднего для последнего из трех выбранных периодов, результаты представлены на рисунке.

Такой метод сглаживание уже может претендовать на реальное применение, однако MAPE относительно исходной и сглаженной функции сразу добавит к ошибке прогноза, в рассматриваемом примере – 25%, что, более чем, существенно. Применяя этот метод, нужно помнить, что он сглаживает лишь случайные колебания. Если же ряд содержит сезонную составляющую, она сохранится и после сглаживания.

Можно пытаться уменьшить добавляемую ошибку к прогнозу изменяя весовые коэффициенты в приведенной формуле однако это будет необходимо проделывать для каждой конкретной задачи, а, возможно, и для некоторых из рассматриваемых промежутков времени.

Метод экспоненциального сглаживания

 Обычно, при прогнозировании временных рядов, используется метод экспоненциального сглаживания.

Достоинство модели экспоненциального сглаживания состоит в том, что в ней придается более высокий вес поздней информации и относительно просто оцениваются значения коэффициентов даже в достаточно сложных случаях, например, при описании сезонных циклов. Уточнение прогноза при экспоненциальном сглаживании производится по принципу обратной связи — новые прогнозы корректируются на основе учета ошибок в предшествующих прогнозах.

Модель экспоненциального сглаживания описывается следующей формулой:

где – сглаженный временной ряд;

– исходный ряд;

α – коэффициент сглаживания;

t – момент времени.

Построив сглаженный ряд (S1, S2, S3) для каждого из заданных дней и коэффициентов сглаживания (0,95, 0,65 и 0,45), можно получить следующие зависимости, представленные соответственно на рисунке для α = 0,95, для α = 0,65 и на рис. 3.7 для α = 0,45.

Для выбора оптимального коэффициента α, оценим ошибку, которая будет добавляться в прогноз от сглаживания временного ряда. Данные оценок расхождения исходных и сглаженных функций для α = 0,65 внесены в таблицу:

Оценка расхождения исходных и сглаженных функций при α = 0,65

Данные оценок расхождения исходных и сглаженных функций для всех рассмотренных α (0,95, 0,65 и 0,45) занесены в сводную таблицу:

Оценка расхождения исходных и сглаженных функций при α = 0,95,

α = 0,65 и α = 0,45

Метод экспоненциального сглаживания показывает лучшие результаты, по сравнению с простым и взвешенным средним сглаживанием, и хорошо подходит для данной системы, т.к. не учитывает при сглаживании исходы по часам за разные сутки, а отталкивается от значения предыдущего часа.

Выводы

Для сглаживания временных рядов в задачах прогноза скорости показов рекламы в интернете, выбран метод экспоненциального сглаживания с коэффициентом α = 0,65. С одной стороны, это позволяет сгладить случайную составляющую, а с другой – не вносит значительных изменений, которые могли бы существенно уменьшить точность прогнозирования еще на этапе сглаживания

Автор: Чернядьев Леонид Валерьевич