Модель Хольта

По сравнению с наивными методами прогноза модель Хольта несколько сложнее в реализации. Кроме того, у данной модели есть большой недостаток – она выдает прогноз лишь на один шаг вперед и не может спрогнозировать, например, 12 будущих часов.

Модель Хольта строится по следующим формулам:

где L – прогноз, очищенный от тренда (по сути, представляет собой экспоненциальное сглаживание);
B – линейный тренд;
Y – функция прогноза;
α, β – коэффициенты чувствительности модели;
t – момент времени;
h – шаг прогноза.

Нулевые точки рассчитываются по отдельным формулам.

Модель Хольта учитывает только линейный тренд, есть очень большая проблема с выбором оптимальных коэффициентов α и β. Для этого вводятся критерии и ограничения, описываемые формулами.

Коэффициенты α и β подбираются с помощью генетического алгоритма, результатом работы которого стали значения α= β=0,95. Для произвольного дня по модели Хольта с подобранными коэффициентами: α= β=0,95 строится прогноз, результаты прогноза заносятся в таблицу.

Прогнозирование по модели Хольта с коэффициентами α= β=0,95

По результатам расчетов, представленных в таблице 10, строится график эталонной функции и прогноза, представленный на рис.

Оценка точности прогнозирования модели Хольта будет проведена на четырех днях из следующих типовых групп: рабочие дни, выходные дни, праздничные дни. Результаты эксперимента занесены в таблицу, построенные графики представлены на рис.

Программная реализация алгоритма,приведена ниже. Результаты работы реализованной программы представлены в таблице.

Точность краткосрочного (часового) прогноза программы составляет в среднем 87%.

Из таблицы следует, что модель Хольта имеет достаточно высокую точность прогнозирования, однако часового прогноза недостаточно для применения этой модели в реальных системах. Такая модель отлично справится с прогнозом в системах, где явно выражена линейная связь между точками прогноза.

<?
  mysql_select_db(, $conn);
 
  $date_now = date('Y-m-d', time());
  //$date_now = '2014-03-18';
    /*
  $sql = "SELECT DATE_FORMAT(`time`, '%k') AS `t`, floor(minute(`time`)/10) AS `m`, ROUND(AVG(`impressions_sum`),2) AS `s` FROM `vk_stat` WHERE
  (DATE_FORMAT(`time`, '%Y-%m-%d') = '$date_now'
  AND DATE_FORMAT(`time`, '%k') > 2)
  GROUP BY hour(`time`), floor(minute(`time`)/10);";
  */
 
  $sql = "SELECT DATE_FORMAT(`time`, '%k') AS `t`, 0 AS `m`, replace(ROUND(AVG(`impressions_sum`),2),'.',',') AS `s` FROM `vk_stat` WHERE
  DATE_FORMAT(`time`, '%Y-%m-%d') = '$date_now'
  AND DATE_FORMAT(`time`, '%k') BETWEEN 6 AND 23
  GROUP BY hour(`time`)";
 
  $alpha = 0.89914;
  $beta = 0.72565;
 
  $sezon = array (
    0 => 0.17,
    2 => 2.33,
    3 => 0.38,
    4 => 0.73,
    5 => 1.18,
    6 => 1.42,
    7 => 2.05,
    8 => 1.34,
    9 => 1.60,
    10 => 1.36,
    11 => 1.33,
    12 => 1.20,
    13 => 1.29,
    14 => 1.68,
    15 => 1.59,
    16 => 1.45,
    17 => 1.23,
    18 => 1.25,
    19 => 1.26,
    20 => 1.22,
    21 => 1.17,
    22 => 0.88,
    23 => 0.69
  );
 
 
  $j = $pre_s = 0;
  $s_arr = $t_arr = $p_arr = $e_arr = $e_ab_arr = array();
  $result = mysql_query($sql);
  while ($row = mysql_fetch_array($result)){
    	$y_array[] = $row;
  }
  echo '
  <p><b>Рассчет краткосрочного прогноза:</b></p>
  <table border="1">
    <tr><td><b>Время</b></td><td><b>Скорость показов</b></td><td><b>Динамика</b></td><td><b>Сглаж. exp</b></td>
    <td><b>Тренд</b></td><td><b>Прогноз</b></td><td><b>Ошибка</b></td><td><b>Абс. ошибка</b></td></tr>';
    foreach ($y_array as $row){
      $speed = (float)$row['s'];
 
      if ($j == 0){
        $s_arr[$j] = $speed;
        $t_arr[$j] = $y_array[$j+1]['s']-$y_array[$j]['s'];
        $p_arr[$j] = $s_arr[$j]+$t_arr[$j];
        $e_arr[$j] = 0;
        $e_ab_arr[$j] = 0;
      } else {
        $s_arr[$j] = $alpha*$speed + (1-$alpha)*($s_arr[$j-1]+$t_arr[$j-1]);
        $t_arr[$j] = $beta*($s_arr[$j]-$s_arr[$j-1]) + (1-$beta)*$t_arr[$j-1];
        $p_arr[$j] = $s_arr[$j]+$t_arr[$j];
        $e_arr[$j] = $speed-$p_arr[$j-1];
        $e_ab_arr[$j] = $e_arr[$j]/$speed;
      }
 
      if ($pre_s <= $speed) {
        $d = '+';
        $c = '#CCFFE6';
      } else {
        $d = '-';
        $c = '#FFCACA';
      }
      echo '<tr><td>'.$row['t'].':'.($row['m']*10).'</td><td>'.$row['s'].'</td><td bgcolor="'.$c.'">'.$d.'</td>
      <td>'.round($s_arr[$j],2).'</td><td>'.round($t_arr[$j],2).'</td><td>'.round($p_arr[$j],2).'</td>
      <td>'.round($e_arr[$j],2).'</td><td>'.abs(round($e_ab_arr[$j],2)*100).'%</td></tr>';
      $i++; $j++;
      $pre_s = $speed;
    }
  echo '
  </table>';
  $e_ab_abs = 0; $i = 0;
  foreach ($e_ab_arr as $e_val){
    if ($i > 1)	$e_ab_abs += abs($e_val);
    $i++;
  }
  $error = 100-abs(($e_ab_abs/($i-2))*100);
 
  echo '<b>Точность краткосрочного прогноза:</b> '.round($error,2).'%<hr />';
  echo '<p><b>Рассчет суточного прогноза:</b></p>';
  echo '<table border="1">
    <tr><td><b>Время</b></td><td><b>Прогноз</b></td></tr>';
 
  $j = 0;
  $prognoz = array_pop($p_arr);
  for ($i=date('G', time())+1; $i<24; $i++){
    $m = (int)date('i', time());
        if ($j == 0){
        	$k = $sezon[$i-1] + (($sezon[$i]-$sezon[$i-1])/60)*$m;
      	$prognoz = $prognoz*$k;
        } else $prognoz = $prognoz*$sezon[$i];
    echo '<tr><td>'.$i.'</td><td>'.round($prognoz,2).'</td></tr>';
    $j++;
  }
  echo '<table>';
?>

Автор статьи: Чернядьев Леонид Валерьевич